1金沢大学 2004年 数学 第1問解答・解説

文字列中のa,b,cの個数をそれぞれ$p,q,r$とおくと、$r=n-p-q$である。aの位置を選び、残った位置からbの位置を選べば文字列が定まるから、$$\displaystyle F_n(p,q)=\binom{n}{p}\binom{n-p}{q}=\frac{n!}{p!q!r!}=\frac{n!}{p!q!(n-p-q)!}.$$

(2) $r=n-p-q$とする。指定された範囲では$$\displaystyle \frac{F_n(p-1,q)}{F_n(p,q)}=\frac{p}{r+1},\qquad \frac{F_n(p,q-1)}{F_n(p,q)}=\frac{q}{r+1}.$$したがって、第一の不等式は$p\le r+1$、すなわち$2p+q\le n+1$と同値である。$p\ge1$よりこの条件から$p+q\le n$も従う。よって$(p,q)$平面では、頂点$\displaystyle (1,0),(1,n-1),(\frac{n+1}{2},0)$をもつ三角形の内部および境界上にある整数格子点が求める範囲である。各$q=0,1,\ldots,n-1$について$\displaystyle 1\le p\le\left\lfloor\frac{n+1-q}{2}\right\rfloor$と表せる。

第二の不等式は$q\le r+1$、すなわち$p+2q\le n+1$と同値である。$q\ge1$より$p+q\le n$も従う。したがって、求める範囲は頂点$\displaystyle (0,1),(n-1,1),(0,\frac{n+1}{2})$をもつ三角形の内部および境界上にある整数格子点であり、各$p=0,1,\ldots,n-1$について$\displaystyle 1\le q\le\left\lfloor\frac{n+1-p}{2}\right\rfloor$と表せる。

代表例として $n=6$ の場合を示す。一般の $n$ では本文に記した頂点および不等式を用いる。

(3) $r=n-p-q$とおく。もし三つの個数のうち大きいものxと小さいものyが$x\ge y+2$を満たせば、xを$x-1$に、yを$y+1$に変えたとき、多項係数の比は$$\displaystyle \frac{x!y!}{(x-1)!(y+1)!}=\frac{x}{y+1}>1$$となる。したがって最大となるには$p,q,r$の差がすべて1以下でなければならない。$p+q+r=n=3m-1$より、三つの個数は$m,m,m-1$である。$m=1$の場合は自然数p,qを正整数とすると$(p,q)=(1,1)$だけが残る。$m\ge2$では、その三つの並べ方から$(p,q)=(m,m),(m-1,m),(m,m-1)$を得る。どの場合も$$\displaystyle F_n(p,q)=\frac{(3m-1)!}{m!m!(m-1)!}$$である。