4大阪医科薬科大学 2019年 数学 第4問解答・解説

(1) $O$ を原点とし、$\overrightarrow{OA}=\mathbf A,\ \overrightarrow{OP}=\mathbf P$ とおく。$|\mathbf A|=1, |\mathbf P|=a$ である。線分上の点を $\mathbf X(t)=(1-t)\mathbf A+t\mathbf P\ (0\le t\le1)$ とすると、$D=|\mathbf P-\mathbf A|^2=1+a^2-2\mathbf A\cdot\mathbf P>0$ として $$\displaystyle |\mathbf X(t)|^2-a^2 =D(t-1)\left(t-\frac{1-a^2}{D}\right).$$ 従って線分上で円と交わるのが終点 $P$ だけであるための必要十分条件は、もう一つの交点に対応する値 $(1-a^2)/D$ が1以上であること、すなわち $\mathbf A\cdot\mathbf P\ge a^2$ である（等号は接点）。$\theta=\angle AOP$ とすれば $a\cos\theta\ge a^2$、従って $a\le\cos\theta\le1$。余弦定理から $$AP^2=1+a^2-2a\cos\theta$$ なので、$\cos\theta=1$ で最小値 $1-a$、$\cos\theta=a$（接点）で最大値 $\sqrt{1-a^2}$ をとる。

(2) $O=(0,0,0),\ A=(1,0,0)$ とおき、$P=(p_1,p_2,p_3)$ とする。(1) と同じ交点条件から、許される点は球面上で $p_1\ge a^2$ を満たす点である。等号の点は接点の円をなし、その円は平面 $p_1=a^2$ 上、半径 $$r=\sqrt{a^2-a^4}=a\sqrt{1-a^2}$$ である。各方向の線分は球との手前の交点まで伸び、接線方向が円錐の母線となる。従って線分全体の和集合 $K$ は、頂点 $A$、接点円を底面とする円錐のうち、球冠の内部に当たる部分を除いた立体である。円錐の高さは $h_1=1-a^2$ なので $$\displaystyle V_{\rm cone}=\frac{\pi r^2h_1}{3}=\frac{\pi a^2(1-a^2)^2}{3}.$$ 除く球冠の高さは、球の近点から接点平面までの距離 $h_2=a-a^2=a(1-a)$ である。近点から距離 $u$ の断面円の半径の2乗は $a^2-(a-u)^2=2au-u^2$ だから、球冠の体積は $$\displaystyle V_{\rm cap}=\pi\int_0^{h_2}(2au-u^2)\,du =\pi h_2^2\left(a-\frac{h_2}{3}\right) =\frac{\pi a^3(1-a)^2(2+a)}{3}.$$ よって $$\displaystyle V=V_{\rm cone}-V_{\rm cap} =\frac{\pi a^2(1-a)^2}{3}\bigl((1+a)^2-a(2+a)\bigr) =\frac{\pi a^2(1-a)^2}{3}.$$