福井大学 2020年数学第1問解答・解説

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1問題

福井大学2020年度第1問

数列 {a_n} を a_1=3, a_2=-4, a_{n+2}=a_{n+1}+a_n (n=1,2,3,...) で定め，数列 {b_n} を b_1=-5, b_2=12, b_{n+2}=√(b_{n+1}^2+b_n^2) (n=1,2,3,...) で定める。c_n=2a_n+3b_n^2, z_n=a_n+b_n i (n=1,2,3,...) とおく。ただし，i は虚数単位とする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) c_3, z_3 をそれぞれ求めよ。

(2) 複素数 w が (1-i)w+(1+i) $\bar{w}$ =2 を満たすとき，|z_3-w| の最小値を求めよ。また，そのときの w を求めよ。ただし， $\bar{w}$ は w の共役複素数とする。

(3) すべての正の整数 n に対して， $c_n$ と c_{n+1} は互いに素な整数であることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$c_3=505,z_3=−1+13i$
(2)
$\displaystyle \min=\frac{11}{\sqrt2},\qquad w=-\frac{13}{2}+\frac{15}{2}i$ 。
(3)
全nで $gcd(c_n,c_{n+1})=1$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答 $a_3=-1$ ， $b_3=\sqrt{12^2+(-5)^2}=13$ 。従って $c_3=-2+3\cdot169=505$ ， $z_3=-1+13i$ 。

$w=x+iy$ とおくと $(1-i)w+(1+i)\bar w=2(x+y)$ なので条件は直線 $x+y=1$ 。点 $z_3=(-1,13)$ とこの直線の距離は $|{-1}+13-1|/\sqrt2=11/\sqrt2$ 。垂線の足は $\displaystyle (-1,13)-\frac{11}{2}(1,1)=\left(-\frac{13}{2},\frac{15}{2}\right),$ ゆえに最小値は $11/\sqrt2$ ，そのとき $w=-13/2+(15/2)i$ 。

$B_n=b_n^2$ とおくと $B_{n+2}=B_{n+1}+B_n$ で， $B_1,B_2$ は整数だから全て整数。 $a_n$ も整数なので $c_n$ は整数であり，同じ漸化式から $c_{n+2}=c_{n+1}+c_n$ 。初項は $c_1=81,c_2=424$ ，その最大公約数は1。さらに $\gcd(c_{n+1},c_{n+2})=\gcd(c_{n+1},c_{n+2}-c_{n+1})=\gcd(c_{n+1},c_n),$ よって隣接項の最大公約数は不変で，常に1。

この問題で使う考え方

漸化式
点と直線の距離
最大公約数の不変性

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