4福井大学 2020年 数学 第4問解答・解説

$\theta=\pi/n$ とおく。正 $n$ 角形の内接円半径は2なので、頂点までの距離は $R_n=2\sec\theta$。頂点と $P(0,0,6)$ を結ぶ線分上で、高さ $z$ の点の水平距離は $R_n(6-z)/6$ である。これが円柱の半径2となる条件から $t_n=6(1-\cos\theta)$。高さ $t_n$ の錐の断面は底面を $\cos\theta$ 倍した相似形で、頂点は半径2の円上にある。正多角形断面はその円盤内に含まれ、さらに上では縮小するので、求める立体は高さ $6-t_n=6\cos\theta$ の錐の一部である。底面積は $4n\tan\theta$、高さ $t_n$ での断面積は $4n\tan\theta\cos^2\theta$。したがって $$\displaystyle W_n=\frac13(4n\tan\theta\cos^2\theta)(6\cos\theta)=8n\tan\theta\cos^3\theta.$$ $n\tan(\pi/n)\to\pi$、$\cos(\pi/n)\to1$ より $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}W_n=8\pi$。

底面の内接円半径と頂点距離の関係から、直線が円柱側面に達する高さを決める。高さ $t_n$ の断面は円柱内に収まり、上方の断面も相似縮小で含まれる。$z=t_n$ の正 $n$ 角形断面積と高さ $6-t_n$ から体積を表し、$n\tan(\pi/n)\to\pi$、$\cos(\pi/n)\to1$ を使って極限を求める。