1大分大学 2019年 数学 第1問解答・解説

一辺を $a$、対角線を $d$ とする。三角形 $A_1B_1E_1$ は等辺が $a$、頂角が $108^\circ$ の二等辺三角形である。正弦定理より $$\displaystyle \frac{d}{a}=\frac{\sin108^\circ}{\sin36^\circ} =\frac{\sin72^\circ}{\sin36^\circ}=2\cos36^\circ.$$ $c=\cos36^\circ$ とおく。三倍角の公式と $\sin108^\circ=\sin72^\circ$ より $$3\sin36^\circ-4\sin^3 36^\circ=2\sin36^\circ\cos36^\circ,$$ したがって $4c^2-2c-1=0$。$c>0$ より $c=(1+\sqrt5)/4$ であり、$\phi=(1+\sqrt5)/2$ とおくと $d=\phi a$。

対角線 $A_1C_1$ と $B_1E_1$ の交点を $P$ とする。これは $B_1$ 側の交点である。三角形 $A_1B_1P$ の角 $A_1$ と $B_1$ はそれぞれ $36^\circ$、角 $P$ は $108^\circ$ なので、正弦定理から $$\displaystyle \frac{B_1P}{a}=\frac{\sin36^\circ}{\sin108^\circ}=\frac1\phi.$$ 対称性により反対側の端の部分も $a/\phi$ である。したがって内側の正五角形の一辺は $$\displaystyle l_2=d-\frac{2a}{\phi} =\left(\phi-\frac2\phi\right)a =\frac{a}{\phi^2} =\frac{3-\sqrt5}{2}a.$$ 各段で相似な同じ形が繰り返されるので $$l_k=a\phi^{-2(k-1)}.$$ $0<\phi^{-2}<1$ より級数は収束し、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{\infty}l_k =\frac{a}{1-\phi^{-2}} =\phi a =\frac{1+\sqrt5}{2}a.$$

正五角形の対角線を $d$、一辺を $a$ とする。頂角が $108^\circ$ の二等辺三角形に正弦定理を用いると $d/a=2\cos36^\circ$ となる。三倍角の公式から $\cos36^\circ=(1+\sqrt5)/4$ なので、$d=\phi a$（ただし $\phi=(1+\sqrt5)/2$）である。対角線上の両端の切片は対称で、各々 $a/\phi$。よって内側の辺は $l_2=d-2a/\phi=a/\phi^2$ となる。各回で同じ相似比が続くため $l_k=a\phi^{-2(k-1)}$。比は $0<\phi^{-2}<1$ なので収束し、和は $a/(1-\phi^{-2})=\phi a$。