2大分大学 2019年 数学 第2問解答・解説

$\mathbf a=\overrightarrow{OA},\;\mathbf b=\overrightarrow{OB},\;\mathbf c=\overrightarrow{OC},\;\mathbf p=\overrightarrow{OP}=x\mathbf a+y\mathbf b+z\mathbf c$ とおく。辺長から $$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf a\cdot\mathbf b&=\frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2}=3,\\ \mathbf b\cdot\mathbf c&=\frac{OB^2+OC^2-BC^2}{2}=10,\\ \mathbf c\cdot\mathbf a&=\frac{OC^2+OA^2-CA^2}{2}=6. \end{aligned}$$ 外接球の中心 $P$ は $O$ と $A$ までの距離が等しいので $|\mathbf p|^2=|\mathbf p-\mathbf a|^2$、従って $2\mathbf p\cdot\mathbf a=|\mathbf a|^2=9$。同様に $2\mathbf p\cdot\mathbf b=13$、$2\mathbf p\cdot\mathbf c=16$。従って $$\displaystyle 9x+3y+6z=\frac92,\quad3x+13y+10z=\frac{13}{2},\quad6x+10y+16z=8.$$ この連立方程式を解くと $\displaystyle x=y=z=\frac14$。ゆえに $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac14\overrightarrow{OA}+\frac14\overrightarrow{OB}+\frac14\overrightarrow{OC}.$$

辺長から内積を求めるには $|\mathbf u-\mathbf v|^2=|\mathbf u|^2+|\mathbf v|^2-2\mathbf u\cdot\mathbf v$ を使う。外接球中心は各頂点から等距離なので、O と各頂点 A,B,C までの距離を比較して一次方程式を3本得る。これを x,y,z について解く。