島根大学 2013年数学第3問解答・解説

ベクトル図形と方程式

このページには広告が含まれます。

1問題

島根大学2013年度第3問

空間における3点 $A(1,1,-1), B(3,2,1), C(-1,3,0)$ を通る平面を $\alpha$ とするとき、次の問いに答えよ。

(1) $\triangle ABC$ は直角二等辺三角形であることを示せ。

(2) 原点 $O$ から平面 $\alpha$ に垂線を下ろし、その交点を $H$ とするとき、点 $H$ の座標を求めよ。

(3) 四面体 $OABC$ に外接する球の中心の座標を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad AB=AC=3\quad$ , $\quad \angle BAC=90^\circ\quad$ . (2) $\quad H=(5/9,10/9,-10/9)\quad$ . (3) 外接球の中心 $\quad (7/10,19/10,11/10)\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\overrightarrow{AB}=(2,1,2)$ , $\overrightarrow{AC}=(-2,2,1)$ 。よって $|AB|^2=|AC|^2=9$ 、 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ だから $AB=AC=3$ かつ $\angle BAC=90^\circ$ 。

平面の法線は $(1,2,-2)$ に平行で、平面の式は $x+2y-2z=5$ 。垂足を $H=(t,2t,-2t)$ とおくと $9t=5$ より $H=(5/9,10/9,-10/9)$ 。

外接球の中心を $P=(x,y,z)$ とすると、頂点O,A,B,Cから等距離という条件から $x+y-z=3/2$ , $3x+2y+z=7$ , $-x+3y=5$ 。解いて $P=(7/10,19/10,11/10)$ 。さらにOは平面 $x+2y-2z=5$ 上にないから四面体は非退化。

ベクトルの成分・内積で三角形の直角二等辺性を示し、平面法線と等距離条件を連立して垂足と外心を求める。

この問題で使う考え方

ベクトルの成分と内積
平面の法線・方程式
距離の二乗の等式
連立一次方程式

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。