4島根大学 2013年 数学 第4問解答・解説

$f(0)=0$。$h\ne0$ の差商は $$\displaystyle \frac{f(h)-f(0)}h=\begin{cases}\log(1-h)&(h>0),\\-\log(1-h)&(h<0),\end{cases}$$ であり、両側極限は0。従って $f$ は0で微分可能、$f'(0)=0$。

(2) $x=0$ は交点。$x>0$ では $x\log(1-x)=-x$ より $x=1-e^{-1}$。$x<0$ では $-x\log(1-x)=-x$ より $x=1-e$。交点は $$(0,0),\qquad (1-e^{-1},e^{-1}-1),\qquad(1-e,e-1).$$

(3) 部分積分と $x^2/(1-x)=-x-1+1/(1-x)$ より $$\displaystyle \int x\log(1-x)\,dx=\frac{x^2-1}{2}\log(1-x)-\frac{x^2}{4}-\frac{x}{2}+C.$$

(4) $x\le0$ で曲線は $-x\log(1-x)$。直線との交点は $x=1-e,0$。$1-e<x<0$ の範囲では $0<\log(1-x)<1$ なので直線 $y=-x$ が上側にある。従って $$\displaystyle S=\int_{1-e}^{0}x\{\log(1-x)-1\}\,dx =\left[\frac{x^2-1}{2}\log(1-x)-\frac{3x^2}{4}-\frac{x}{2}\right]_{1-e}^{0} =\frac{e^2-4e+5}{4}.$$

絶対値の左右で関数式を分け、0の差商と各交点を求める。原始関数を部分積分で計算し、x≦0の有界領域では交点間の上下関係を対数の大小で定めた。