1群馬大学 2012年 数学 第1問解答・解説

曲線 $y=a^x$ と $y=2^x$ の交点は $P=(0,1)$ である。また $y=a$ との交点は、それぞれ $Q=(1,a)$ と $R=(\log_2 a,a)$ である。$0<a<1$ なら $\log_2 a<0<1$、$1<a<2$ なら $0<\log_2 a<1$ となるので、交点の順に応じて面積を分ける。

$0<a<1$ のとき、$R$ から $P$ までは $y=2^x$ と $y=a$ の間、$P$ から $Q$ までは $y=a^x$ と $y=a$ の間である。したがって $$\displaystyle S=\int_{\log_2 a}^{0}(2^x-a)\,dx+\int_0^1(a^x-a)\,dx =\frac{1-a}{\ln 2}+a\log_2 a+\frac{a-1}{\ln a}-a =\frac{1-a+a\ln a}{\ln 2}+\frac{a-1}{\ln a}-a.$$

$1<a<2$ のとき、$P$ から $R$ までは $y=2^x$ と $y=a^x$ の間、$R$ から $Q$ までは $y=a$ と $y=a^x$ の間である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{\log_2 a}(2^x-a^x)\,dx+\int_{\log_2 a}^1(a-a^x)\,dx\\ &=\frac{a-1}{\ln 2}+a(1-\log_2 a)-\frac{a-1}{\ln a}\\ &=\frac{a-1-a\ln a}{\ln 2}+a-\frac{a-1}{\ln a}. \end{aligned}$$ ここで $\displaystyle \int c^x\,dx=c^x/\ln c$ ($c>0,\ c\ne1$) を用いた。