5群馬大学 2012年 数学 第5問解答・解説

$R(\varphi)=\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}$ と置けば、$A=2R(\pi/6), B=2R(\pi/4)$ である。従って左辺は $$\displaystyle 2^{k+\ell}\cos\left(\frac{k\pi}{6}+\frac{\ell\pi}{4}\right)=2^{k+\ell}\cos\frac{(2k+3\ell)\pi}{12}.$$ $N=2k+3\ell$、$q=m+k+\ell-9$ と置くと、条件は $\cos(N\pi/12)=2^{-q}$。正の $N$ の12分のπ刻みで余弦が正となる値のうち有理数は1と1/2だけなので、$(q,N\bmod24)=(0,0)$ または $(1,4),(1,20)$。 $q=0$ なら $k+\ell=9-m\le8$ で、正整数k,ℓから $N=2(k+\ell)+\ell\le23$。正の24の倍数にならず不可能。 $q=1$ なら $k+\ell\le9$ より $5\le N\le26$。よって $N=20$ であり、$2k+3\ell=20$ の正整数解は $(7,2),(4,4),(1,6)$。$m=10-k-\ell$ から答えは $$(k,\ell,m)=(7,2,1),(4,4,2),(1,6,3).$$

$A,B$ を拡大率 $2$ の回転行列に直し、指定された行・列成分を余弦値に還元。余弦が整数2冪になる場合だけを角度表で絞り、正整数の範囲と合同条件を合わせて全解を列挙。