1広島大学 2002年 数学 第1問解答・解説

$A^2=A$ の各成分を比較すると $$a^2+b^2=a,\qquad 2ab=b.$$ $a\ne0$ より、$b=0$ なら $a=1$、また $b\ne0$ なら $a=1/2$ かつ $b=\pm1/2$。同様に、$B^2=B$ と $c\ne0$ から、$(c,d)=(1,0)$ または $c=1/2,\ d=\pm1/2$。

もし $A=E$ なら $AB=B=O$ となり $c\ne0$ に反する。もし $B=E$ なら $AB=A=O$ となり $a\ne0$ に反する。従って $a=c=1/2$、かつ $b,d$ はそれぞれ $1/2$ または $-1/2$。積の成分から $AB=O$ は $1/4+bd=0$ および $(b+d)/2=0$ を与えるので $d=-b$。条件 $b>d$ により $$\displaystyle (a,b,c,d)=\left(\frac12,\frac12,\frac12,-\frac12\right).$$ このとき $A+B=E$ であり、対称性から $BA=(AB)^{\mathsf T}=O$。従って $$(pA+qB)(xA+yB)=pxA+qyB.$$ $A,B$ は一次独立で $E=A+B$ だから、これが $2E=2A+2B$ となる条件は $px=2,\ qy=2$。よって $$\displaystyle x=\frac2p,\qquad y=\frac2q.$$

各行列の二乗を直接計算して係数を比較する。単位行列の場合は$AB=O$と他方の非零対角成分に矛盾するため、両行列は階数1の候補となる。$AB=O$と$b>d$から候補を一意に定める。最後は$AB=BA=O$、$A^2=A$、$B^2=B$、$A+B=E$を用いて係数を比較する。