2広島大学 2002年 数学 第2問解答・解説

(1) $b_n=3^n a_n$ だから $$b_1=3a_1=-90.$$ 与えられた漸化式 $9a_{n+1}=a_n+4/3^n$ の両辺に $3^{n+1}$ を掛けると $$9b_{n+1}=3b_n+12,$$ 従って $$\displaystyle \boxed{b_{n+1}=\frac13b_n+\frac43\quad(n\ge1)},\qquad b_1=-90.$$

(2) 定数項を引くと $$\displaystyle b_{n+1}-2=\frac13(b_n-2),\qquad b_1-2=-92.$$ よって $$\displaystyle b_n-2=-92\left(\frac13\right)^{n-1},\qquad b_n=2-\frac{92}{3^{n-1}}.$$ $b_n=3^n a_n$ から $$\displaystyle a_n=\frac{2}{3^n}-\frac{92}{3^{2n-1}} =\boxed{\frac{2(3^n-138)}{3^{2n}}}.$$

(3) 隣り合う項の差を計算すると $$\displaystyle a_{n+1}-a_n=\frac{4(184-3^n)}{3^{2n+1}}.$$ 分母は常に正である。$1\le n\le4$ では $3^n\le81<184$ なので差は正。一方 $n\ge5$ では $3^n\ge243>184$ なので差は負である。したがって $a_n$ は $n=1$ から $5$ まで増加し、その後減少するので、最大項は $n=5$。 $$\displaystyle a_5=\frac{2(3^5-138)}{3^{10}} =\frac{210}{59049} =\boxed{\frac{70}{19683}}.$$

$b_n=3^n a_n$よりb1=−90。漸化式を$3^{n+1}$倍すると9b_{n+1}=3b_n+12、従ってb_{n+1}=b_n/3+4/3。定数2を引くとb_{n+1}−2=(b_n−2)/3であるから、b_n=2−92/3^{n−1}。ゆえにa_n=b_n/3^n=2(3^n−138)/3^{2n}。(3) 隣接差a_{n+1}−a_n=4(184−3^n)/3^{2n+1}。1≦n≦4では3^n≦81<184なので増加し、n≧5では3^n≧243>184なので減少。よって最大はn=5で、a_5=2(243−138)/3^{10}=210/59049=70/19683。