広島大学 2002年数学第3問解答・解説

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1問題

広島大学2002年度第3問

$C_{1}$ を曲線 $y=e^{x}$ 、 $C_{2}$ を曲線 $y=x\log x\ (x>0)$ とする。ただし、 $\log$ は自然対数を表す。また、 $x=e$ で定義される直線を $l_{1}$ 、 $l_{1}$ と $C_{2}$ との交点 $P$ を通り $x$ 軸に平行な直線を $l_{2}$ 、 $l_{2}$ と $C_{1}$ との交点 $Q$ を通り $y$ 軸に平行な直線を $l_{3}$ とする。

(1) 2点 $P,Q$ の座標を求めよ。

(2) $x\geq1$ のとき、 $e^{x}>x\log x$ であることを示せ。

(3) 2直線 $l_{1},l_{3}$ と2曲線 $C_{1},C_{2}$ によって囲まれた図形の面積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$P=(e,e)$ 、 $Q=(1,e)$ 。 $e^x>x\log x\quad(x\ge1)$ 。囲まれた面積は $\displaystyle e^e-e-\frac{e^2+1}{4}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$P=(e,e),\quad Q=(1,e)$ . $h(x)=e^x-x\log x,\quad h^{\prime}(x)=e^x-\log x-1$ $x\ge1:\quad e^x>1+x,\quad\log x\le x-1\quad\text{ならば}\quad h^{\prime}(x)>1>0$ $h(1)=e>0\quad\text{ならば}\quad e^x>x\log x$ $\displaystyle S=\int_1^e(e^x-x\log x)\,dx=e^e-e-\frac{e^2+1}{4}$ .

(1) x=eでC2上の点はP=(e,e)。l2はy=eなのでC1との交点はQ=(1,e)。 (2) h(x)=e^x−x ln x とおく。x≧1で ln x≦x−1、また e^x>1+x だから h'(x)=e^x−ln x−1>0。h(1)=e>0 より h(x)>0。 (3) xは1からeまで動き、上側がe^x、下側がx ln x。よって面積は ∫_1^e(e^x−xlnx)dx。原始関数は e^x−(x²/2)lnx+x²/4 なので、面積は e^e−e−(e²+1)/4。

この問題で使う考え方

導関数の正値評価
不等式評価
定積分

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