琉球大学 2010年数学第4問解答・解説

指数関数・対数関数微分法積分法

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1問題

琉球大学2010年度第4問

$a>0$ とし， $f(x)=a^{2}(x+1)e^{-ax}$ とおく。（50点）

問1 関数 $f(x)$ の最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。

問2 問1で求めた $x$ の値を $c$ とする。曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸， $y$ 軸および直線 $x=c$ で囲まれた図形の面積を $S(a)$ とする。 $0<a<1$ における $S(a)$ の最大値とそのときの $a$ の値を求めよ。ただし， $e>2$ であることを証明なしに用いてよい。

（解答は次のページの解答欄に記入すること）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

問1
最大値 $a e^{a-1}$ 、そのとき $\displaystyle x=c=\frac{1-a}{a}$ 。
問2
S(a) の最大値は 1-ln 2、そのとき $a=1-ln 2$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$f'(x)=a^2e^{-ax}(1-a(x+1))$ で、指数因子は正だから、fは x=(1-a)/a の前で増加し後で減少する。したがって最大値は f(c)=a^2(1/a)e^{-(1-a)}=ae^{a-1}。問2では c=(1-a)/a>0 であり、0≦x≦c の範囲で f(x)≧0 なので $\displaystyle S(a)=\int_0^c a^2(x+1)e^{-ax}\,dx=1+a-2e^{a-1}$ 。よって S'(a)=1-2e^{a-1}、S''(a)=-2e^{a-1}<0。唯一の停留点は a=1-ln 2 である。e>2 より ln 2<1 なのでこの点は 0<a<1 にあり、そこで S(a)=1-ln 2。

この問題で使う考え方

導関数による増減
定積分
最大値判定

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