1琉球大学 2010年 数学 第1問解答・解説

(1) $P^{-1}$、$AP$、$U=P^{-1}AP$ を計算する。 $$P^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},\qquad AP=\begin{pmatrix}2&1\\-2&1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}.$$

(2) $n\ge1$ について、次の式を予想する。$n=1$ で成立し、成立を仮定して $U$ を右から掛ければ $$U^n=\begin{pmatrix}2^n&n2^{n-1}\\0&2^n\end{pmatrix},$$ $$U^{n+1}=\begin{pmatrix}2^n&n2^{n-1}\\0&2^n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2^{n+1}&(n+1)2^n\\0&2^{n+1}\end{pmatrix}.$$ よって数学的帰納法で成立する。

(3) $A=PUP^{-1}$ より $A^n=PU^nP^{-1}$。したがって $$A^n=\begin{pmatrix} 2^n+n2^{n-1}&n2^{n-1}\\ -n2^{n-1}&2^n-n2^{n-1} \end{pmatrix}.$$

$P$は行列式1なので逆行列は表示の通り。$P^{-1}AP$を計算すると対角成分が2の上三角行列になり、冪の右上成分だけが各段で加算される。$n=1$を確認して$U$を掛ける帰納段階を示せば問2の証明が完了する。$A=PUP^{-1}$より、相似変換の積を整理すると$A^n=PU^nP^{-1}$であり、最後の積を計算した。