3琉球大学 2010年 数学 第3問解答・解説

接点の横座標を$t$とすると接線は $y=(3t^2-1)x-2t^3$。点$(a,b)$を通る条件は $F(t)=2t^3-3at^2+a+b=0$。$\quad F'(t)=6t(t-a)$。

$a>0$ のとき極大値 $F(0)=a+b$, 極小値 $F(a)=a+b-a^3$。よって3実根の条件は $-a<b<a^3-a$。

$a<0$ のとき極大値 $F(a)=a+b-a^3$, 極小値 $F(0)=a+b$。よって $a^3-a<b<-a$。

$a=0$ では $F(t)=2t^3+b$ は単調増加で実根は1個。領域は $b=a^3-a$ と $b=-a$ の間（境界を除く）。

接点の$x$座標を$t$とすると、接線は$y=(3t^2-1)x-2t^3$。これが$(a,b)$を通る条件は$F(t)=2t^3-3at^2+a+b=0$である。$F'(t)=6t(t-a)$。 $a>0$なら$F$は$(-\infty,0)$で増加、$(0,a)$で減少、$(a,\infty)$で増加し、極大値$F(0)=a+b$、極小値$F(a)=a+b-a^3$をもつ。3つの異なる実根をもつ条件は$a+b>0$かつ$a+b-a^3<0$、すなわち$-a<b<a^3-a$。 $a<0$では極大点が$t=a$、極小点が$t=0$なので、$F(a)=a+b-a^3>0$かつ$F(0)=a+b<0$、すなわち$a^3-a<b<-a$。$a=0$なら$F(t)=2t^3+b$は単調増加で実根は1個だけ。 異なる接点が同じ接線を与えないことも確認する。接線の傾き・切片は$(3t^2-1,-2t^3)$であり、両方が一致するなら$t^2=s^2$かつ$t^3=s^3$なので$t=s$。したがって上の条件は相異なる3接線の条件そのものである。境界では重根が生じるため含まれない。