3北海道大学 2009年 数学 第3問解答・解説

放物線 $C$ を $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{4}$ と表すと、$\displaystyle f'(x)=\frac{x}{2}$ である。点 $\displaystyle A=(t,\frac{t^2}{4})$ における接線は $$\displaystyle \ell_2:\quad y-\frac{t^2}{4}=\frac{t}{2}(x-t),\qquad y=\frac{t}{2}x-\frac{t^2}{4}$$ となる。

(1) $\ell_2$ が正の $x$ 軸となす角を $\alpha$ とする。$t>0$ より $\displaystyle \tan\alpha=\frac{t}{2}$、また $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}-\alpha$ だから、 $$\displaystyle \cos\theta=\sin\alpha=\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}=\frac{t}{\sqrt{t^2+4}}.$$

(2) $\ell_1$ の方向角は $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ である。これを方向角 $\alpha$ の直線 $\ell_2$ に関して対称移動した直線の方向角は $\displaystyle 2\alpha-\frac{\pi}{2}$ なので、その傾き $m$ は $$\displaystyle m=\tan\left(2\alpha-\frac{\pi}{2}\right) =-\cot 2\alpha =-\frac{1-\tan^2\alpha}{2\tan\alpha} =\frac{t^2-4}{4t}.$$ 対称の軸 $\ell_2$ 上の点 $A$ は動かない。よって $$\displaystyle \ell_3:\quad y-\frac{t^2}{4}=\frac{t^2-4}{4t}(x-t), \qquad y=\frac{t^2-4}{4t}x+1.$$

(3) この直線はどの $t>0$ に対しても $(0,1)$ を通る。したがって定点は $(0,1)$ である。

(4) $\ell_3$ の傾きを $\displaystyle m=\frac{t^2-4}{4t}$ とする。$C$ と $\ell_3$ の交点の $x$ 座標は $$\displaystyle \frac{x^2}{4}=mx+1 \quad\text{すなわち}\quad (x-2m)^2=4(m^2+1),$$ より $2m\pm2\sqrt{m^2+1}$ である。したがって、2交点の $x$ 座標の差の絶対値は $4\sqrt{m^2+1}$。2点は傾き $m$ の直線上にあるから、 $$\displaystyle PQ=4\sqrt{m^2+1}\sqrt{1+m^2} =4(1+m^2) =4+\frac{(t^2-4)^2}{4t^2}\ge4.$$ 等号は $t^2=4$ のときに成立し、$t>0$ より $t=2$。最小値は $4$ である。

接線の傾きから角度と反射後の直線を求める。放物線との交点間距離を表し、平方の非負性で最小値を決める。