5北海道大学 2009年 数学 第5問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} (1)\quad a_1&=\int_0^{\pi/4}\tan^2x\,dx=\int_0^{\pi/4}(\sec^2x-1)\,dx\\ &=[\tan x-x]_0^{\pi/4}=1-\frac{\pi}{4}.\\[4pt] (2)\quad a_{n+1}&=\int_0^{\pi/4}\tan^{2n}x(\sec^2x-1)\,dx\\ &=\left[\frac{\tan^{2n+1}x}{2n+1}\right]_0^{\pi/4}-a_n =\frac{1}{2n+1}-a_n.\\[4pt] (3)\quad t&=\tan x\text{ とおくと、}\quad a_n=\int_0^1\frac{t^{2n}}{1+t^2}\,dt.\\ &0\le a_n\le\int_0^1t^{2n}\,dt=\frac{1}{2n+1}\longrightarrow0\quad(n\to\infty),\\ &\therefore\quad \lim\limits _{n\to\infty}a_n=0.\\[4pt] (4)\quad \sum\limits _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}t^{2k-2}&=\frac{1-(-t^2)^n}{1+t^2},\\ \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} &=\int_0^1\frac{1-(-t^2)^n}{1+t^2}\,dt\\ &=\int_0^1\frac{dt}{1+t^2}-(-1)^n\int_0^1\frac{t^{2n}}{1+t^2}\,dt\\ &=\frac{\pi}{4}-(-1)^n a_n. \end{aligned}$$ ここで第1積分は $t=\tan x$ と置換すると $\displaystyle \int_0^{\pi/4}dx=\pi/4$ であり、第2積分は (3) の $a_n$ である。よって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}=\frac{\pi}{4}.$$

三角関数の基本公式から初項と漸化式を得る。置換積分で0と$\displaystyle \frac{1}{2n+1}$の間に挟んで極限を求め、有限等比和の積分から交代和の極限へ結び付ける。