鳥取大学 2021年数学第IV問解答・解説

1問題

鳥取大学2021年度第IV問

$p$ は $0<p\leq1$ を満たす実数とする。0以上の整数 $n$ に対して $\displaystyle J_n=\int_0^p\frac{1-(-1)^n x^{2n}}{1+x^2}\,dx$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 正の実数 $m$ に対して、定積分 $\displaystyle \int_0^p\frac{x^m}{1+x^2}\,dx$ と $\displaystyle \frac1{m+1}$ の大小関係を調べよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ を $\displaystyle a_n=(-1)^{n-1}\frac{p^{2n-1}}{2n-1}\quad(n=1,2,3,\ldots)$ で定める。数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^n a_k\quad(n=1,2,3,\ldots)$ を $J_n$ を用いて表せ。

(3) 無限級数 $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)3^{n-1}}$ の和を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\displaystyle 0<\int_0^p\frac{x^m}{1+x^2}\,dx<\frac{1}{m+1}$
(2) $S_n=J_n$ 。
(3) $\displaystyle \frac{\pi}{2\sqrt{3}}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $m>0$ 、 $0<p\le1$ で、 $0<x\le p$ なら $\displaystyle 0<\frac{x^m}{1+x^2}<x^m.$ 積分して $\displaystyle 0<\int_0^p\frac{x^m}{1+x^2}\,dx<\frac{p^{m+1}}{m+1}\le\frac1{m+1}.$

(2) 有限等比和の恒等式から $\displaystyle \frac{1-(-1)^n x^{2n}}{1+x^2}=\sum\limits _{k=0}^{n-1}(-1)^k x^{2k}.$ 両辺を0からpまで積分すると $\displaystyle J_n=\sum\limits _{k=0}^{n-1}(-1)^k\frac{p^{2k+1}}{2k+1}=S_n.$

(3) $p=1/\sqrt3$ とする。与えられた級数の第N部分和は $\sqrt3 S_N=\sqrt3 J_N$ 。また $\displaystyle J_N=\int_0^p\frac{dx}{1+x^2}-(-1)^N\int_0^p\frac{x^{2N}}{1+x^2}\,dx,$ ここで(1)より剰余の絶対値は $p^{2N+1}/(2N+1)\to0$ 。したがって $\displaystyle \lim\limits _{N\to\infty}J_N=\int_0^{1/\sqrt3}\frac{dx}{1+x^2}.$ ここで $x=\tan t$ と置換する。積分区間では $0\le t\le\pi/6$ であり、 $dx/(1+x^2)=dt$ だから $\displaystyle \int_0^{1/\sqrt3}\frac{dx}{1+x^2}=\int_0^{\pi/6}dt=\frac{\pi}{6}.$ よって級数の和は $\sqrt3\cdot\pi/6=\pi/(2\sqrt3)$ 。

この問題で使う考え方

被積分関数の比較
有限等比和
剰余評価と極限

1問題

2答え

3解答

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