II鳥取大学 2021年 数学 第II問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} \text{(1)}\quad & S=\frac12\left|\operatorname{Im}(\overline\omega z)\right|, \qquad \overline\omega z=\frac{|\omega|^2}{\omega+1}=\frac3{\omega+1}.\\ &\operatorname{Im}\frac3{\omega+1} =\frac{3(\overline\omega-\omega)}{2i(\omega+1)(\overline\omega+1)},\\ & (\omega+1)(\overline\omega+1)=|\omega+1|^2>0,\\ & S=\frac{3|\omega-\overline\omega|}{4(\omega+1)(\overline\omega+1)}.\\[2pt] \text{(2)}\quad & \omega=x+iy,\quad x^2+y^2=3,\quad |\omega+1|^2=4+2x=2(x+2),\\ & S=\frac{3|y|}{4(x+2)},\qquad S^2=\frac{9(3-x^2)}{16(x+2)^2}.\\ & 3(x+2)^2-(3-x^2)=(2x+3)^2\ge0,\\ & S^2\le\frac{27}{16},\qquad S\le\frac{3\sqrt3}{4}.\\ & \text{等号は}\ x=-\frac32,\quad y=\pm\frac{\sqrt3}{2}\ \text{で成立。}\\ & |\omega+1|=1,\quad OA=\sqrt3,\quad OB=\frac{|\omega|}{|\omega+1|}=\sqrt3,\\ & AB=|\omega-z|=\left|\frac{\omega^2}{\omega+1}\right|=3,\\ & \cos\angle AOB=\frac{3+3-9}{2\sqrt3\sqrt3}=-\frac12,\quad \angle AOB=120^\circ. \end{aligned}$$

複素平面の面積公式から $\displaystyle S=\frac12|\operatorname{Im}(\overline\omega z)|$。条件より $\overline\omega z=3/(\omega+1)$ で、分母は $|\omega+1|^2>0$。$\omega=x+iy$ とおくと $x^2+y^2=3$、$S^2=9(3-x^2)/(16(x+2)^2)$。恒等式 $3(x+2)^2-(3-x^2)=(2x+3)^2$ から $S\le3\sqrt3/4$。$x=-3/2,y=\pm\sqrt3/2$ で等号が実現する。このとき三辺は $OA=OB=\sqrt3, AB=3$ で、余弦定理から頂角は $120^\circ$。