鳥取大学 2021年数学第III問解答・解説

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1問題

鳥取大学2021年度第III問

$A$ は $A>1$ を満たす実数とする。 $A\leq a\leq A+1$ を満たす実数 $a$ に対し、関数 $f(x)$ を $f(x)=a^x\quad(-1\leq x\leq1)$ とし、 $xy$ 平面上の曲線 $C$ を $C:y=f(x)\quad(-1\leq x\leq1)$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。

(2) $a$ が $A\leq a\leq A+1$ の範囲を動くとき、曲線 $C$ が通過する領域の面積 $S(A)$ を $A$ を用いて表せ。

(3) (2)で定めた $S(A)$ に関する次の極限 $\displaystyle \lim\limits _{A\to\infty}S(A)\log A$ を求めよ。ただし、 $\displaystyle \lim\limits _{A\to\infty}\log\left(1+\frac1A\right)^A=1$ であることを用いてよい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \text{(1)}\quad f^{\prime}(x)=a^x\log a.\quad\text{(2)}\quad S(A)=\frac{A^2}{(A+1)\log(A+1)}-\frac{(A-1)^2}{A\log A}.\quad\text{(3)}\quad \lim\limits _{A\to\infty}S(A)\log A=1.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 内点では $f'(x)=a^x\log a$ （端点は片側微分）。(2) $x<0$ と $x>0$ で通過領域の縦幅を分け、積分すると $\displaystyle S(A)=\frac{A^2}{(A+1)\log(A+1)}-\frac{(A-1)^2}{A\log A}$ 。(3) $d=\log(1+1/A)$ と置けば $Ad\to1$ で、 $\displaystyle S(A)\log A=1-\frac{1}{A(A+1)}-\frac{A^2d/(A+1)}{\log A+d}\to1$ 。

原文p.6のⅢ(1)–(3)とp.1を実視認。 $a>1$ で $f'(x)=a^x\log a$ 。 $x<0$ と $x>0$ で $a^x$ の $a$ に対する増減が逆なので、縦幅を分けて積分し $\displaystyle S(A)=\frac{A^2}{(A+1)\log(A+1)}-\frac{(A-1)^2}{A\log A}$ 。 $d=\log(1+1/A)$ とおき $Ad\to1$ を用いると $S(A)\log A\to1$ 。端点の片側微分も同式。旧解説一致。

この問題で使う考え方

指数関数の微分
縦幅を用いた領域面積
定積分
与えられた対数極限

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