I鳥取大学 2021年 数学 第I問解答・解説

(1) $2^k\le n<2^{k+1}$ では、$n$ の2進表示は $k+1$ 桁で、$2^k$ の位の数字は $1$ である。残りの下位 $k$ 桁は $n-2^k$ の2進表示と一致するから、定義より$$\displaystyle a_n=a_{n-2^k}+\left(\frac12\right)^{k+1}=a_{n-2^k}+\frac1{2^{k+1}}.$$　 　 (2) $n$ の2進表示で $2^j$ の位が $1$ なら、$a_n$ には $2^{-(j+1)}$ が寄与する。$0\le n\le130$ において各位が $1$ となる回数を数える。$2^0$ の位は奇数である $65$ 個、$2^1$ の位は $0$ から $127$ までに $64$ 個あり、さらに $128,129,130$ のうち $130$ の1個で $65$ 個である。$2^2$ から $2^6$ の各位は、$0$ から $127$ までにそれぞれ $64$ 個あり、$128,129,130$ ではすべて $0$ である。また、$2^7$ の位は $128,129,130$ の3個だけで $1$ となる。したがって$$\displaystyle \begin{aligned}S_{130}&=\frac{65}{2}+\frac{65}{4}+64\left(\frac18+\frac1{16}+\frac1{32}+\frac1{64}+\frac1{128}\right)+\frac3{256}\\&=\frac{65}{2}+\frac{65}{4}+\frac{31}{2}+\frac3{256}=\frac{16451}{256}.\end{aligned}$$　 　 (3) まず $0\le n<2^k$ とし、$n$ の2進表示の各桁を $\varepsilon_j$（0または1）（$0\le j\le k-1$）とする。このとき$$\displaystyle a_n=\sum\limits _{j=0}^{k-1}\varepsilon_j2^{-(j+1)}.$$$\varepsilon_0=1$ なら $\displaystyle a_n\ge\frac12$、$\varepsilon_1=1$ なら $\displaystyle a_n\ge\frac14$ なので、$\displaystyle a_n<\frac14$ には $\varepsilon_0=\varepsilon_1=0$ が必要である。逆にこの2桁がともに $0$ なら$$\displaystyle a_n\le\sum\limits _{j=2}^{k-1}2^{-(j+1)}=\frac14-\frac1{2^k}<\frac14,$$となる（$k=2$ では和は空和で $0$）。残る $k-2$ 桁はそれぞれ $0,1$ のいずれでもよいから、この範囲の該当する $n$ は $2^{k-2}$ 個である。さらに端点 $n=2^k$ については $\displaystyle a_{2^k}=2^{-(k+1)}<\frac14$（$k\ge2$）である。よって求める個数は $2^{k-2}+1$ 個である。