4北海道大学 2021年 数学 第4問解答・解説

(1) $a_2=2\cdot2+3\cdot1=7$、$b_2=2+2\cdot1=4$ なので、$\boxed{c_2=28}$。

(2) 漸化式より $$c_{n+1}=(2a_n+3b_n)(a_n+2b_n)=2a_n^2+7a_nb_n+6b_n^2\equiv a_nb_n=c_n\pmod2.$$ $c_1=2$ は偶数なので、数学的帰納法によりすべての $c_n$ は偶数である。

(3) 漸化式を2回用いると $$a_{n+2}=7a_n+12b_n,\qquad b_{n+2}=4a_n+7b_n.$$ 偶数 $n$ に対して、$b_2=4$ と $b_{n+2}=4a_n+7b_n$ から、数学的帰納法により $b_n$ は4の倍数である。上の式を7で割った余りで考えると $$a_{n+2}\equiv5b_n,\qquad b_{n+2}\equiv4a_n\pmod7.$$ したがって $(a_{n+4},b_{n+4})\equiv(6a_n,6b_n)\pmod7$。$n=2$ では $(a_2,b_2)\equiv(0,4)$、$n=4$ では $(a_4,b_4)=(97,56)\equiv(6,0)\pmod7$ である。偶数の添字は4で割った余りが2または0なので、添字を4増やす関係を繰り返すと、すべての偶数 $n$ について $a_n,b_n$ の少なくとも一方が7で割り切れる。よって $c_n$ は7で割り切れ、4でも割り切れることと合わせて $$\boxed{c_n\text{ は28で割り切れる}}.$$

Tags. Unit: recurrence sequences, induction, modular arithmetic. Method: two-step recurrence derived componentwise, congruences modulo $2,4,7$, induction by residue classes. Theme: divisibility in a coupled recurrence.

Quality comparison and disposition Independent derivation was saved before consulting the prior answer. The prior final result agrees: c2=28; every $c_n$ is even; 28 divides $c_n$ for even n.. Forward and backward results agree; the independent proof supplies the parity-class step modulo 7. The original accepted result files and their evidence metadata remain untouched. Prior actual-result evidence was not independently validated, so actual model status stays UNVERIFIED.　 Disposition: mathematics PASS; source eligible; display matched; adopt this independent high-school solution.