3北海道大学 2021年 数学 第3問解答・解説

(1) 与式の各項を右辺で割ると $$3^{4x-y^2}+3^{y^2+2-4x}=6.$$ $t=4x-y^2$ とおけば $3^t+3^{2-t}=6$ である。両辺に $3^t$ を掛けて $$3^{2t}-6\cdot 3^t+9=0,\qquad (3^t-3)^2=0.$$ よって $3^t=3$、したがって $t=1$ であり、 $$\boxed{y^2=4x-1}.$$

(2) $y>0$ および $x/y<1$ より $x>1/4$ かつ $x<y$ である。したがって $$x^2<y^2=4x-1 \quad\text{すなわち}\quad ( x-2)^2<3,$$ ゆえに $2-\sqrt3<x<2+\sqrt3$（この区間では $x>1/4$）となる。特に $x$ は $x_0=2-\sqrt3$ に右からいくらでも近づける。$y=\sqrt{4x-1}$ とすると $$\displaystyle \lim\limits _{x\to x_0+}\frac{x}{y} =\frac{2-\sqrt3}{\sqrt{7-4\sqrt3}} =1,$$ しかも許容条件から常に $0<x/y<1$ である。

$r=x/y$ とおく。対数の性質から $$\displaystyle \left|\frac1{\log_{1+r}4}+\frac1{\log_{1-r}4}\right| =\left|\log_4(1+r)+\log_4(1-r)\right| =\left|\log_4(1-r^2)\right| =-\log_4(1-r^2).$$ $x\to x_0+$ のとき $r\to1-$ なので $1-r^2\to0+$、したがって右辺は $+\infty$ に発散する。よって式は上に有界でなく、最大値は存在しない。