1北海道大学 2021年 数学 第1問解答・解説

$\mathbf a=\overrightarrow{OA}$、$\mathbf b=\overrightarrow{OB}$ とおく。$|\mathbf a|=4$、$\mathbf a\cdot\mathbf b=6$。

(1) $F$ は $B$ から $OA$ への垂線の足なので、正射影の公式より $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{OF}=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a|^2}\mathbf a=\frac38\mathbf a}.$$

(2) $AD:DB=2:1$ から $$\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{\mathbf a+2\mathbf b}{3},\qquad \frac{\overrightarrow{OD}\cdot\mathbf a}{|\mathbf a|^2} =\frac{(16+12)/3}{16}=\frac7{12}.$$ 直線 $OA$ に関する鏡映では $OA$ 方向成分は保たれ、垂直成分の符号が反転する。従って $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{OE}=2\cdot\frac7{12}\mathbf a-\overrightarrow{OD} =\frac56\mathbf a-\frac23\mathbf b}.$$

(3) $OA$ を $x$ 軸とする直交座標をとる。内積条件により $A=(4,0)$、$B=(3/2,s)$ と書ける。内分比と鏡映から $$D=(7/3,2s/3),\qquad E=(7/3,-2s/3).$$ したがって $DE=4|s|/3$ で、直線 $DE$ は $x=7/3$。点 $B$ からこの直線までの距離は $|7/3-3/2|=5/6$ だから $$\displaystyle [BDE]=\frac12\cdot\frac{4|s|}{3}\cdot\frac56 =\frac{5|s|}{9}=\frac59.$$ よって $|s|=1$ であり、 $$\displaystyle \boxed{|\mathbf b|=\sqrt{(3/2)^2+s^2}=\frac{\sqrt{13}}2}.$$

(1) 内積で $B$ の $OA$ への正射影を求める。(2) 内分点の位置ベクトルを求め、鏡映では平行成分を保ち垂直成分を反転させる。(3) $OA$ を $x$ 軸とする直交座標で垂直成分を $s$ と置き、底辺と高さから面積条件を使う。