2札幌医科大学 2021年 数学 第2問解答・解説

$0<k<1/2$ とし、$a=k$, $b=1-k$, $D=a^2+ab+b^2=1-k+k^2$ とおく。面積座標 $(x,y,z)$ では $A=(1,0,0)$, $B=(0,1,0)$, $C=(0,0,1)$。内分点は $L=(0,b,a)$, $M=(a,0,b)$, $N=(b,a,0)$ だから、直線は $AL:ay=bz$, $BM:bx=az$, $CN:ax=by$。連立して $$\displaystyle P=\frac{(a^2,b^2,ab)}D,\quad Q=\frac{(ab,a^2,b^2)}D,\quad R=\frac{(b^2,ab,a^2)}D.$$

面積座標の第3成分から $$\displaystyle \frac US=\frac{ab}{D}=\frac{k(1-k)}{1-k+k^2}.$$ 標準平面座標を $(y,z)$ とすると、三角形 $PQR$ の面積比は行列式で $$\displaystyle \frac TS=\left|\frac{(a^2-b^2)(a^2-ab)-(b^2-ab)(ab-b^2)}{D^2}\right|=\frac{(a-b)^2}{D}.$$ ここで $t=1-2k$ とおけば $0<t<1$, $D=(3+t^2)/4$ なので $T/S=4t^2/(3+t^2)$。従って $$\displaystyle T>\frac12S\quad\text{すなわち}\quad 7t^2>3\quad\text{すなわち}\quad t>\sqrt{\frac37}\quad\text{すなわち}\quad 0<k<\frac{1-\sqrt{3/7}}2.$$

面積座標で内分点と3直線の交点を解き、$\displaystyle \frac US$は$P$の第3成分として求めた。$\displaystyle \frac TS$は標準平面座標の行列式に直して因数分解。$t=1-2k$と置いた後、$0<t<1$を使って厳密不等式を解いた。