1新潟大学 2025年 数学 第1問解答・解説

解答 点 $B$ の放物線上の座標を $B=(t,t^2)$ とおく。条件より $t\ne0$。また $A=(a,-1)$，$a>0$ である。

(1) 直交条件は $$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=at-t^2=t(a-t)=0.$$ $t\ne0$ より $t=a$。したがって $B=(a,a^2)$。ベクトル $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ のなす角を $\theta$ とすると，三角形の面積は $\displaystyle S=\frac12|OA||OB||\sin\theta|$，また $\cos\theta=(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})/(|OA||OB|)$ であるから $$\displaystyle S^2=\frac{|OA|^2|OB|^2\sin^2\theta}{4} =\frac{|OA|^2|OB|^2-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})^2}{4} =\frac{(at^2+t)^2}{4}.$$ ここで $t=a$，$a>0$ だから $$\displaystyle S=\frac{a^3+a}{2}.$$

(2) 内積は $$\displaystyle at-t^2=-\left(t-\frac a2\right)^2+\frac{a^2}{4},$$ よって最大となるのは $t=a/2$。$a>0$ なのでこの点は原点以外で， $$\displaystyle B=\left(\frac a2,\frac{a^2}{4}\right),\qquad T=\frac12\left(a\frac{a^2}{4}+\frac a2\right)=\frac{a^3+2a}{8}.$$

(3) $S=3T$ に代入すると $$\displaystyle \frac{a^3+a}{2}=3\frac{a^3+2a}{8} \quad\text{整理すると}\quad a(a^2-2)=0.$$ $a>0$ より $a=\sqrt2$。したがって $A=(\sqrt2,-1)$。