2新潟大学 2025年 数学 第2問解答・解説

二次方程式 $x^2-x-1=0$ の解について $$\alpha^2-\alpha=1,\quad \beta^2-\beta=1,\quad \alpha+\beta=1,\quad \alpha\beta=-1.$$ よって $$a_1=1,\qquad a_2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=3.$$ (2)の等式を加えると $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ となるから $$a_3=4,\qquad a_4=7.$$

(2)は $\alpha^2-\alpha=1$ に $\alpha^n$ を掛ければ $$\alpha^{n+2}-\alpha^{n+1}=\alpha^n$$ であり、同様に $\beta$ でも成り立つ。

(3) 定義と(2)より $$b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1} =(\alpha^{n+2}-\alpha^{n+1})+(\beta^{n+2}-\beta^{n+1}) =a_n.$$

(4) $a_k=a_{k+2}-a_{k+1}$ を $k=1,\ldots,n$ で足すと $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}a_k=a_{n+2}-a_2=a_{n+2}-3.$$ 最後に漸化式から $a_5=11,a_6=18,a_7=29,a_8=47,a_9=76$。