1神戸大学 2024年 数学 第1問解答・解説

関数 $f_t(x)=x+\sqrt{t-x^2}\; (0\le x\le\sqrt t)$ を考える。ただし $t>0$ とする。 $$f_t(x)^2=t+2x\sqrt{t-x^2}\le t+x^2+(t-x^2)=2t,$$ここで不等式は $2x\sqrt{t-x^2}\le x^2+(t-x^2)$ より従う。定義域では $x\ge0$ かつ $\sqrt{t-x^2}\ge0$ なので $f_t(x)\ge0$ である。したがって上の平方の評価から $f_t(x)\le\sqrt{2t}$ が従う。また等号成立は $x=\sqrt{t-x^2}$ のときであり、定義域内では $x=\sqrt{t/2}$ である。よって $f_t(x)$ は $x=\sqrt{t/2}$ で最大となる。

(1) $t=c$ とすれば、最大値をとるときの $x$ は $$\displaystyle a_1=\sqrt{\frac{c}{2}}.$$

(2) $t=a_n$ とすれば、定義より $$\displaystyle a_{n+1}=\sqrt{\frac{a_n}{2}}.$$ よって $a_n>0$ を用いて対数をとると、$$\displaystyle b_{n+1}=\log_2 a_{n+1}=\log_2\sqrt{\frac{a_n}{2}}=\frac12(\log_2 a_n-1)=\frac12b_n-\frac12.$$

(3) 初項は $\displaystyle b_1=\frac12\log_2(c/2)$ である。(2)より $\displaystyle b_{n+1}+1=\frac12(b_n+1)$ だから、$$\displaystyle b_n+1=\left(\frac12\right)^{n-1}(b_1+1)=\left(\frac12\right)^{n-1}\cdot\frac12\log_2(2c)=\frac{\log_2(2c)}{2^n}.$$ したがって $$\displaystyle b_n=-1+\frac{\log_2(2c)}{2^n}\quad(n=1,2,\ldots).$$