3神戸大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) 1,2,3,4,5,6のすべてが$n$を割るので、 $$n=\operatorname{lcm}(1,2,3,4,5,6)k=60k\quad(k=1,2,\ldots).$$ したがって、小さい順に $n=60,120,180$。

(2) 1は常に$n$を割るから、2,3,4,5,6のうちちょうど4個が$n$を割る必要がある。 2が$n$を割らなければ4,6も割らず、3が割らなければ6も割らない。また、6が割れないときは2,3の少なくとも一方も割れない。 よって、割らない数としてあり得るのは4または5だけである。 5だけが割らない場合は$12\mid n, 5\nmid n$であり、その最初の候補は$12,24,36,\ldots$。 4だけが割らない場合は$30\mid n, 4\nmid n$であり、最小の候補は30である。 これらを小さい順に並べると$n=12,24,30$。

(3) $160=2^5\cdot5$である。積が160の約数となるには、出た目に3または6が含まれてはならず、5は高々1回、4は3回同時に出てはならない。 5が出ない場合、各回の目は1,2,4のいずれかであり、$3^3=27$通りある。このうち(4,4,4)だけは積が$2^6$となって条件を満たさないので、26通り。 5がちょうど1回出る場合は、その位置が3通り、残る2回はそれぞれ1,2,4の3通りずつだから、$3\cdot3^2=27$通りで、すべて条件を満たす。 したがって有利な場合は$26+27=53$通り。全事象は$6^3=216$通りなので、求める確率は$\displaystyle \frac{53}{216}$。