5大阪大学 2024年 数学 第5問解答・解説

(1) $n=p^a q^b r^c$ とする。1からnまでのうちpの倍数は $n/p$ 個、qの倍数は $n/q$ 個、rの倍数は $n/r$ 個である。例えばpとqの両方の倍数は $n/(pq)$ 個。包除原理で $$\displaystyle \begin{aligned} f(n)&=n-\frac np-\frac nq-\frac nr+\frac n{pq}+\frac n{pr}+\frac n{qr}-\frac n{pqr}\\ &=n\left(1-\frac1p\right)\left(1-\frac1q\right)\left(1-\frac1r\right)\\ &=p^{a-1}q^{b-1}r^{c-1}(p-1)(q-1)(r-1). \end{aligned}$$ これで示された。

(2) 一般に $\displaystyle n=\prod\limits _{i=1}^{k}p_i^{e_i}$ とし、$p_i$ を相異なる素因数とする。同じ包除計算から $$\displaystyle f(n)=n\prod\limits _{i=1}^{k}\left(1-\frac1{p_i}\right), \qquad \frac{n}{f(n)}=\prod\limits _{i=1}^{k}\frac{p_i}{p_i-1}.$$ 従って $f(n)\mid n$ であることは、この比が整数であることと同値である。

まず $n$ が奇数ならすべての $p_i$ は奇数である。比を分数 $$\displaystyle \frac{\prod\limits _i p_i}{\prod\limits _i(p_i-1)}$$ で見ると、分子は奇数、分母は偶数だから整数にならない。よって該当する $n$ は偶数。

偶数 $n$ の奇素因数の個数を $k$ とする。奇素因数の積を $P$、その $p_i-1$ の積を $D$ とすれば $$\displaystyle \frac{n}{f(n)}=\frac{2P}{D}.$$ $k\ge2$ なら $D$ は二つ以上の偶数の積なので4の倍数だが、$2P$ は4の倍数ではない。よって比は整数にならない。

奇素因数が一つだけなら、それを $p$ として整数条件は $p-1\mid2p$。$p$ と $p-1$ は互いに素だから $p-1\mid2$。奇素数 $p\ge3$ より $p=3$ に限る。このとき比は3である。奇素因数がない場合は $n=2^a$ で、比は2。従って候補は $$n=2^a\quad\text{または}\quad n=2^a3^b\qquad(a,b\ge1).$$

範囲 $5\le n\le100$ で列挙する。2の冪は $8,16,32,64$。$2^a3^b$ は、$b=1$ なら $6,12,24,48,96$、$b=2$ なら $18,36,72$、$b=3$ なら $54$。$b\ge4$ では最小の $2\cdot3^4=162$ が上限を超える。これらの形では比がそれぞれ2または3なので、すべて実際に条件を満たす。従って答えは $$\boxed{6,8,12,16,18,24,32,36,48,54,64,72,96}.$$