3大阪大学 2024年 数学 第3問解答・解説

$\ell$ を含み $m$ に平行な平面を $xy$ 平面にとり、$\ell$ を $x$ 軸とする直交座標を選ぶ。$m$ の方向ベクトルは $(a,b,0)$ と書け、$\ell,m$ は平行でないから $b\ne0$。この座標で $$\ell:\ P=(x,0,0),\qquad m:\ Q=(p+at,q+bt,r)\quad(t\text{ は実数})$$ と表せる。もし $r=0$ なら $m$ は $xy$ 平面内にあり、$b\ne0$ より $q+bt=0$ となる点を持つので $\ell$ と交わる。これはねじれの条件に反するから $r\ne0$。

$\ell$ の方向 $(1,0,0)$ と $m$ の方向 $(a,b,0)$ の両方に垂直な方向は鉛直方向だけである。従って共通垂線の両足 $P,Q$ は同じ $x$ 座標・$y$ 座標を持ち、 $$q+bt=0,\qquad x=p+at$$ を満たす。$b\ne0$ より $t=-q/b$ はただ1つに定まり、続いて $x$ もただ1つに定まる。このとき $$Q-P=(0,0,r)\ne(0,0,0)$$ なので $P,Q$ を結ぶ直線が定まり、両方向に垂直だから共通垂線である。どの共通垂線も同じ条件を満たし、$t,x$ は一意なので、この共通垂線はただ1つである。

$\ell$を含みmに平行な平面を$xy$平面にとり、$\ell$を$x$軸とする直交座標を選ぶ。$\ell$上の点を$P=(x,0,0)$、$m$の方向ベクトルを$(a,b,0)$とすると、mの点は$Q=(p+at,q+bt,r)$と書ける。$\ell,m$は平行でないから$b\ne0$。また$r=0$ならmは$xy$平面内にあり、$b\ne0$より$y=0$となる点を持つのでℓと交わってしまう。これはねじれの条件に反するため$r\ne0$。

$\ell$の方向$(1,0,0)$と$m$の方向$(a,b,0)$の両方に垂直な方向は鉛直方向だけである。従って共通垂線の両足$P,Q$は同じ$x$座標・$y$座標を持つ必要があり、条件は $q+bt=0$, $x=p+at$ となる。$b\ne0$なので$t=-q/b$がただ1つ定まり、続いて$x$もただ1つに定まる。このとき$Q-P=(0,0,r)$で、$r\ne0$より$P,Q$は異なる。よってこの2点を結ぶ直線は$\ell,m$双方に垂直であり、存在する。共通垂線は必ず同じ式を満たすからこの直線以外になく、一意である。