1大阪大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1) $x\geq 0$ において$$\displaystyle f_n'(x)=-\frac{n}{2}e^{nx}-\frac13\sin\frac{x}{3}.$$自然数 $n$ は $n\geq1$ であり、$e^{nx}\geq1$、$\displaystyle \sin\frac{x}{3}\geq-1$ だから、$$\displaystyle f_n'(x)\leq-\frac{n}{2}e^{nx}+\frac13\leq-\frac12+\frac13=-\frac16<0.$$よって $f_n$ は $x\ge0$ でxが大きくなると値が必ず小さくなる。また、$$\displaystyle f_n(0)=\frac32>0,\qquad f_n(x)\leq2-\frac12e^{nx}\longrightarrow-\infty\quad(x\to\infty).$$関数 $f_n$ は連続であるから中間値の定理により $f_n(x)=0$ は少なくとも1つの解をもつ。異なるxに対して同じ値をとらないことから解は高々1つである。したがって、解はただ1つである。

(2) その解を $a_n$ とすると、$$\displaystyle e^{na_n}=2\left(1+\cos\frac{a_n}{3}\right)\leq4.$$対数関数は増加するので $na_n\leq\ln4$。また $a_n>0$ だから、$$\displaystyle 0<a_n\leq\frac{\ln4}{n}\longrightarrow0.$$よって $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}a_n=0$。

(3) (2)より $a_n\to0$ であるから、(2)の等式から$$\displaystyle e^{na_n}=2\left(1+\cos\frac{a_n}{3}\right)\longrightarrow4.$$したがって、対数関数の連続性より$$na_n=\ln(e^{na_n})\longrightarrow\ln4.$$ゆえに $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}na_n=\ln4$。

導関数の一様な負の上界で一意性を示し、端点値と無限遠での挙動から存在を得る。根の方程式を指数に直して $0<a_n\le(\ln4)/n$ を示し、同じ等式の極限から n $a_n$ を求める。