III順天堂大学 2024年 数学 第III問解答・解説

(1) $f(x)=\sqrt{x+1}$ の逆関数は，$y=\sqrt{x+1}$ を $x$ について解いて $f^{-1}(y)=y^2-1\ (y\ge0)$ である。よって $$a_2=2^2-1=3,\qquad a_3=3^2-1=8.$$

(2) このとき $a_k=k^2-1$ なので，$a_{k+1}-a_k=2k+1$ である。$n\ge2$ に対して $$\displaystyle \begin{aligned} S_n&=\sum\limits _{k=1}^{n-1}k(2k+1) =2\sum\limits _{k=1}^{n-1}k^2+\sum\limits _{k=1}^{n-1}k\\ &=2\cdot\frac{(n-1)n(2n-1)}6+\frac{(n-1)n}2 =\frac{n(n-1)(4n+1)}6. \end{aligned}$$ この式は $n=1$ のときも右辺が0となり，定義された $S_1=0$ と一致する。従って全ての正の整数 $n$ について $$\displaystyle S_n=\frac{n(n-1)(4n+1)}6.$$

(3) $f(x)=e^x$ の逆関数は $f^{-1}(y)=\log y\ (y>0)$ だから $a_k=\log k$ である。$n\ge2$ について和の添字をずらすと $$\displaystyle \begin{aligned} S_n&=\sum\limits _{k=1}^{n-1}k\{\log(k+1)-\log k\}\\ &=\sum\limits _{j=2}^{n}(j-1)\log j-\sum\limits _{j=1}^{n-1}j\log j\\ &=(n-1)\log n-\sum\limits _{j=2}^{n-1}\log j\\ &=(n-1)\log n-\log((n-1)!) =n\log n-\log(n!). \end{aligned}$$ 最後から2番目の等式では $\log 1=0$ と $\displaystyle \log(n!)=\sum\limits _{j=1}^{n}\log j$ を用いた。$n=1$ では両辺とも0であり，等式は成り立つ。

(4) $x>0$ に対して $g(x)=x-\log(1+x)$ とおくと， $$\displaystyle g(0)=0,\qquad g'(x)=1-\frac1{1+x}=\frac{x}{1+x}>0$$ である。従って $\log(1+x)\le x$ であり，特に $k\ge1$ について $$\displaystyle k\log\left(1+\frac1k\right)\le1.$$ (3) の等式と $a_k=\log k$ から $$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^{n-1}k\log\left(1+\frac1k\right)\le n-1.$$ ここに $S_n=n\log n-\log(n!)$ を代入して整理すると $$\log(n!)\ge n\log n-(n-1).$$ 両辺の指数をとれば $$n!\ge e^{n\log n-(n-1)}=n^n e^{1-n}$$ を得る。$n=1$ でも等号が成り立つ。