3北海道大学 2020年 数学 第3問解答・解説

全事象は等確率な列 $(X_1,\ldots,X_n)\text{ の }6^n\text{ 通り}$である。 $$\displaystyle \begin{aligned} (1)\quad &\gcd(X_1,\ldots,X_n)=3\text{ なら各 }X_i\text{ は }3\text{ または }6\text{ である。} &\{3,6\}\text{ からなる列は }2^n\text{ 通りで、そのうち最大公約数が }6\text{ なのは全て }6\text{ の1通りだけなので、} &\displaystyle P=\frac{2^n-1}{6^n}.\\ (2)\quad &A_p=\{\text{全ての }X_i\text{ が }p\text{ で割り切れる}\}\quad(p=2,3,5)\text{ とする。} &\gcd(X_1,\ldots,X_n)>1\text{ であることは }A_2,A_3,A_5\text{ の少なくとも一つが起こることと同値である。} &|A_2|=3^n,\quad |A_3|=2^n,\quad |A_5|=1,\quad \text{全ての目が6となる列は1通り}, &\text{他の二つずつの共通部分は空である。したがって} &\displaystyle P(\gcd=1)=1-\frac{3^n+2^n+1-1}{6^n}=\frac{6^n-3^n-2^n}{6^n}.\\ (3)\quad &\operatorname{lcm}(X_1,\ldots,X_n)=20\text{ となるには、各 }X_i\text{ は }1,2,4,5\text{ のいずれか}\text{ で、4と5が少なくとも1回ずつ出る必要がある。} &\text{包除原理により、その列数は }4^n-3^n-3^n+2^n\text{ なので、} &\displaystyle P=\frac{4^n-2\cdot3^n+2^n}{6^n}. \end{aligned}$$