5広島大学 2015年 数学 第5問解答・解説

(1) 含まれる2種類の文字の選び方は$\displaystyle \binom{m}{2}$通りである。選んだ2種類をともに含む長さ$n$の文字列は、各位置に2種類のいずれかを置く$2^n$通りから、1種類だけを並べる2通りを除いて$2^n-2$通りである。含まれる文字の組が異なる文字列どうしは重ならないから、求める数は$$\displaystyle \binom{m}{2}(2^n-2)$$である。

(2) 全体は$3^n$通りである。3種類のうち少なくとも1種類を含まない文字列は、含まない文字の選び方ごとに$2^n$通りある。1種類だけを並べる各文字列は、最初の減算で2回除かれるので1回加え戻す。そのような文字列は3通りである。よって、3種類すべてを含む数は$$\displaystyle 3^n-\binom{3}{1}2^n+\binom{3}{2}=3^n-3\cdot2^n+3$$である。

(3) 2組への分け方では、各人を2つの仮の組に割り当てる$2^n$通りから空組ができる2通りを除き、組の名前を入れ替えた同じ分け方を2回ずつ数えているので、$$\displaystyle S_2=\frac{2^n-2}{2}=2^{n-1}-1$$通りである。

3組への分け方では、3つの仮の組すべてが空でない割当ては、全$3^n$通りから少なくとも1組が空になるものを包除して$3^n-3\cdot2^n+3$通りである。各分け方は組の名前の付け方が$3!=6$通りあるので、$$\displaystyle S_3=\frac{3^n-3\cdot2^n+3}{6}$$通りとなる。1組への分け方は1通りだから、分け方全体は$$\displaystyle 1+S_2+S_3=1+(2^{n-1}-1)+\frac{3^n-3\cdot2^n+3}{6}=\frac{3^n+3}{6}$$通りである。したがって、$$\displaystyle p_n=\frac{S_2}{1+S_2+S_3}=\frac{2^{n-1}-1}{(3^n+3)/6}=\frac{3(2^n-2)}{3^n+3}.$$$n=3$では$p_3=18/30=3/5$となり、問題文の例とも一致する。

(4) $3^n+3>0$なので、(3)の式から$$\displaystyle p_n\leq\frac13\text{であるための必要十分条件は} 9(2^n-2)\leq3^n+3\text{、すなわち} F_n:=3^n-9\cdot2^n+21\geq0.$$まず$F_3=-24,\ F_4=-42,\ F_5=-24$であり、$n=3,4,5$は条件を満たさない。一方、$F_6=174>0$である。また$n\geq6$では$$\displaystyle F_{n+1}-F_n=2\cdot3^n-9\cdot2^n=2^n\left(2\left(\frac32\right)^n-9\right)>0,$$（$2(3/2)^n\geq2(3/2)^6=729/32>9$）だから、$F_n$は$n\geq6$で増加する。よって条件を満たす範囲は$$n\geq6$$である。