3名古屋大学 2012年 数学 第3問解答・解説

復元抽出を3回行うので、順序付きの結果は $n^3$ 通りで等確率である。

(1) $X\ge j$ かつ $Y\le j+k$ となるには3回とも$j$ 以上 $j+k$ 以下の整数から選べばよい。各回 $k+1$ 通りなので $$\displaystyle \Pr(X\ge j,\,Y\le j+k)=\frac{(k+1)^3}{n^3}=\left(\frac{k+1}{n}\right)^3.$$

(2) $X=j$、$Y=j+k$ となるには、全ての値が区間内にあり、両端が少なくとも1回ずつ出る必要がある。包除原理により該当数は $$(k+1)^3-2k^3+(k-1)^3=6k,$$ したがって確率は $6k/n^3$。この式は $k=1$ でも成り立つ。

(3) $Y-X=s$ となるときの最小値を $a$ とすると $1\le a\le n-s$。各aについて、3回の値は $a$ 以上 $a+s$ 以下の整数であり、両端をともに含む。その個数は $$(s+1)^3-2s^3+(s-1)^3=6s.$$ 最小値aの違う場合は重ならないので、全該当数は $6s(n-s)$。よって $$\displaystyle P(s)=\frac{6s(n-s)}{n^3}\qquad(1\le s\le n-1).$$

(4) $n$ は偶数でsは整数だから $$\displaystyle s(n-s)=\frac{n^2}{4}-\left(s-\frac n2\right)^2$$ は $\displaystyle s=\frac n2$ のとき最大。したがって $P(s)$ を最大にする値は $\displaystyle s=\frac n2$ である。

順序付き三つ組を等確率として数えた。範囲に入る条件は積の法則で数え、最小・最大が両端である条件は包除原理で数えた。差sの問題では最小値を固定して数え、最後は平方完成した。