2名古屋大学 2012年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} (1)\quad f_1(x) &=\int_{-x}^{x}te^t\,dt+\frac{d}{dx}(xe^x)\\ &=\left[(t-1)e^t\right]_{-x}^{x}+(x+1)e^x\\ &=(x-1)e^x+(x+1)e^{-x}+(x+1)e^x\\ &=2xe^x+(x+1)e^{-x}. \end{aligned}$$

$$\displaystyle \begin{aligned} (2)\quad g(-x) &=\int_{x}^{-x}(at+b)e^t\,dt\\ &=-\int_{-x}^{x}(at+b)e^t\,dt=-g(x). \end{aligned}$$ 従って $\displaystyle \int_{-c}^{c}g(x)\,dx=0$。

$$\displaystyle (3)\quad (Tf)(x):=\int_{-x}^{x}f(t)\,dt+f'(x),\qquad E(x):=\frac{f(x)+f(-x)}2,\quad O(x):=\frac{f(x)-f(-x)}2.$$ $E$ は偶関数、$O$ は奇関数であり、 $$\displaystyle (Tf)(x)=2\int_0^x E(t)\,dt+E'(x)+O'(x).$$ このとき $Tf$ の偶関数部分は $O'$ だから、$O(0)=0$ を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} (T^2f)(x) &=2\int_0^x O'(t)\,dt+(Tf)'(x)\\ &=2O(x)+2E(x)+E''(x)+O''(x)\\ &=2f(x)+f''(x). \end{aligned}$$ よって $f_{2n}=(D^2+2)^n f_0$（$D=d/dx$）。これは「2回進めるごとに $2f+f^{\prime\prime}$ を作る」という計算を略記したものである。$P$ を多項式とすると $$(D^2+2)(e^xP(x))=e^x\bigl(P''(x)+2P'(x)+3P(x)\bigr).$$ $P_0(x)=x$ とし、$P_{k+1}=P_k^{\prime\prime}+2P_k^\prime+3P_k$ とおく。$P_k(x)=3^k x+2k3^{k-1}$ と仮定すると、$P_{k+1}(x)=3^{k+1}x+2(k+1)3^k$ となる。$P_0(x)=x$ より帰納法でこの式が成り立つ。したがって $$f_{2n}(x)=\left(3^n x+2n3^{n-1}\right)e^x.$$

積分の上下限を入れ替えて奇関数性を確認する。偶部分と奇部分に分けると、漸化式を2回適用した結果が2f+f″となる。あとは係数の帰納法で一般項を得る。