II鳥取大学 2010年 数学 第II問解答・解説

(1) $x>0$ で $(\log x)'=1/x$ だから、積の微分法と合成関数の微分法より $$\displaystyle \begin{aligned} f'(x)&=(\log x)^n+x\cdot n(\log x)^{n-1}\cdot\frac1x\\ &=(\log x)^n+n(\log x)^{n-1}. \end{aligned}$$

(2) 部分積分法により $$\displaystyle \begin{aligned} I_1&=\int_1^e\log x\,dx\\ &=[x\log x]_1^e-\int_1^e x\cdot\frac1x\,dx\\ &=e-(e-1)=1. \end{aligned}$$

(3) (1)の $n+1$ に対する式を 1 から $e$ まで積分すると $$\displaystyle \begin{aligned} [x(\log x)^{n+1}]_1^e&=\int_1^e\{(\log x)^{n+1}+(n+1)(\log x)^n\}\,dx\\ &=I_{n+1}+(n+1)I_n. \end{aligned}$$ ここで $\log e=1, \log1=0$ より左辺は $e$ である。したがって $$I_{n+1}+(n+1)I_n=e,\qquad I_{n+1}=e-(n+1)I_n.$$

(4) この関係式と $I_1=1$ から $$\begin{aligned} I_2&=e-2I_1=e-2,\\ I_3&=e-3I_2=e-3(e-2)=6-2e,\\ I_4&=e-4I_3=e-4(6-2e)=9e-24. \end{aligned}$$