1名古屋大学 2012年 数学 第1問解答・解説

(1) 接点の$x$座標を$t$とすると接線は $$\ell:\ y=(3t^2-a^2)x-2t^3.$$ 曲線と接線の縦の差は$x^3-3t^2x+2t^3=(x-t)^2(x+2t)$で、交点の$x$座標は$t,-2t$である。 $t>0$のとき、$u=x+2t$と置換して $$\displaystyle S(t)=\int_{-2t}^t(x-t)^2(x+2t)\,dx =\int_0^{3t}(3t-u)^2u\,du=\frac{27}4t^4.$$ $t<0$では原点に関する対称性から同じ式となる。従って$\boxed{S(t)=27t^4/4}$。 (2) 接線が$B(2a,b)$を通る条件は $$b=F(t):=-2t^3+6at^2-2a^3.$$ $F'(t)=-6t(t-2a)$より、$F$は$t<0$で減少、$0<t<2a$で増加、$t>2a$で減少する。 極小値は$F(0)=-2a^3$、極大値は$F(2a)=6a^3$で、両端の極限は順に$+\infty,-\infty$である。 また異なる$t$では切片$-2t^3$が異なるので、異なる実根は異なる接線に対応する。従って本数は $$\boxed{\begin{cases} 3&(-2a^3<b<6a^3),\\ 2&(b=-2a^3\ \text{または}\ b=6a^3),\\ 1&(b<-2a^3\ \text{または}\ b>6a^3). \end{cases}}$$ (3) $b=-2a^3$のときは$t^2(t-3a)=0$より$t=0,3a$である。$t=0$の接線は原点を通るため設問の条件を満たさない。 $b=6a^3$のときは$(t-2a)^2(t+a)=0$より$t=2a,-a$で、どちらの接線の切片も0でない。従って(1)より $$\displaystyle \boxed{\frac{S_1}{S_2}=\frac{(2a)^4}{(-a)^4}=16}.$$