4香川大学 2017年 数学 第4問解答・解説

(1) $C_1$ とx軸、$x=b$ で囲まれる面積は $$\displaystyle S_1=\int_0^b ax^2\,dx=\frac{ab^3}{3}.$$ $C_2$ と $y=a$、y軸で囲まれる領域の右端は $q=\sqrt{a/b}$ だから $$\displaystyle S_2=\int_0^q(a-bx^2)\,dx=\frac{2a^{3/2}}{3\sqrt b}.$$

(2) $S_1=S_2$ より $b^3=2\sqrt{a/b}$、したがって $$\displaystyle a=\frac{b^7}{4}.$$ この関係と $0<a<b$ から $0<b<2^{1/3}$、また $$\displaystyle q=\sqrt{a/b}=\frac{b^3}{2}<b.$$

(3) $0\le x\le q$ では $C_2-C_1=(b-a)x^2\ge0$。$q\le x\le b$ では、直線 $P_1P_2$ の高さから $ax^2$ を引いた関数は二次係数が $-a<0$ の二次関数で、端点値は $f(q)=a-aq^2>0,\ f(b)=0$。下に開く二次関数は区間上で端点を結ぶ線分以上にあるので、直線は区間内で $C_1$ の上側にある。面積は $$\displaystyle S_3=\int_0^q(b-a)x^2\,dx +\frac{(b-q)(a+ab^2)}{2} -\int_q^b ax^2\,dx.$$ $q=b^3/2,\ a=b^7/4$ を代入して $$\displaystyle S_3=\frac{b^8(6+b^2-3b^4)}{48}.$$

(4) $S_1=ab^3/3=b^{10}/12$。$S_1=S_3$ は $$b^4+b^2-2=0.$$ 左辺を因数分解すると、これと同値な式 $$(b^2+2)(b^2-1)=0$$ を得る。 $b>0$ なので $b=1$、よって $a=1/4$。この値は $0<a<b$ と $a<b^3$ を満たす。