2香川大学 2017年 数学 第2問解答・解説

(1) $x$ を整数とする。整数 $x$ について $x^3\equiv x\pmod 3$ だから、 $$x^3+3x^2-x-2\equiv x-x-2\equiv 1\pmod 3.$$ したがって分子は $3$ で割り切れない。もし $y=f(x)$ も整数なら $3y=x^3+3x^2-x-2$ は $3$ の倍数となるが、これは矛盾する。よってグラフ上に格子点は存在しない。

(2) $\displaystyle f'(x)=x^2+2x-\frac13$ であるから、$x=n$ における接線は $$\displaystyle y=f(n)+\left(n^2+2n-\frac13\right)(x-n)$$ である。ここで $k$ を整数として $x=n+1+3k$ とおく。このとき $$\displaystyle y=f(n)+\left(n^2+2n-\frac13\right)(1+3k) =\frac{n^3+6n^2+5n-3}{3}+k(3n^2+6n-1).$$ 第1項の分子は $$n^3+6n^2+5n-3\equiv n+0+2n+0\equiv 0\pmod 3$$ なので第1項は整数である。また第2項も整数である。したがって、これらの $x,y$ はともに整数で、接線上にある。整数 $k$ ごとに $x=n+1+3k$ は異なるから、接線上には無限に多くの格子点が存在する。