3香川大学 2017年 数学 第3問解答・解説

$(1)$ $\overrightarrow{BA}=\mathbf a,\ \overrightarrow{BC}=\mathbf c$ とする。 $AD:DB=3:2,\ AE:EC=5:3$ より $$\displaystyle \overrightarrow{BD}=\frac25\mathbf a,\qquad \overrightarrow{BE}=\frac38\mathbf a+\frac58\mathbf c.$$ $F=tE$（原点を $B$ としたベクトル表示）とし、$s=CF/CD$ とおく。 $$\displaystyle t\left(\frac38\mathbf a+\frac58\mathbf c\right) =\frac{2s}{5}\mathbf a+(1-s)\mathbf c.$$ 係数を比較して $3t/8=2s/5,\ 5t/8=1-s$、 従って $s=3/5$、すなわち $CF:FD=3:2$。 $(2)$ 円に対する二つの割線 $ADB,AEC$ より $AD\cdot AB=AE\cdot AC$（円周角による $\triangle ADE\sim\triangle ACB$ からも従う）。 $AD=3AB/5,\ AE=5AC/8$ を用いると $24AB^2=25AC^2$、よって $AB:AC=5:2\sqrt6$。 さらに円の中心が辺 $BC$ 上にある場合、$OB=OC$ より中心 $O$ は $BC$ の中点で、$BC$ は直径となる。従って $\angle BDC=\angle BEC=90^\circ$。$x=AB,y=AC,z=BC$ とすると $$\displaystyle z^2=BD^2+CD^2=y^2-AD^2+BD^2=y^2-\frac{x^2}{5},$$ $$\displaystyle z^2=BE^2+EC^2=x^2-AE^2+EC^2=x^2-\frac{y^2}{4}.$$ 従って $y^2=24x^2/25,\ z^2=19x^2/25$ であり、 $$AB:AC:BC=5:2\sqrt6:\sqrt{19}.$$