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香川大学／2017年度／前期

香川大学 2017年 数学 第1問解答・解説

三角関数積分法

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1問題

香川大学2017年度第1問

曲線 C1:y=sin⁡x (0≦x≦π4)\displaystyle C_1:y=\sin x\ \left(0\leq x\leq\frac{\pi}{4}\right)，曲線 C2:y=cos⁡x (0≦x≦π4)\displaystyle C_2:y=\cos x\ \left(0\leq x\leq\frac{\pi}{4}\right) について，次の問に答えよ。

(1) 2曲線 C1C_1 と C2C_2，および yy 軸で囲まれた図形 DD の面積を求めよ。

(2) 不定積分 ∫xsin⁡x dx\displaystyle \int x\sin x\,dx と ∫xcos⁡x dx\displaystyle \int x\cos x\,dx を求めよ。

(3) 不定積分 ∫x2sin⁡x dx\displaystyle \int x^2\sin x\,dx と ∫x2cos⁡x dx\displaystyle \int x^2\cos x\,dx を (2) を用いて求めよ。

(4) 図形 DD を yy 軸のまわりに 11 回転させてできる立体の体積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    2−1\sqrt2-1
  • (2)
    ∫xsin⁡x dx=−xcos⁡x+sin⁡x+C,∫xcos⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x+C\displaystyle \int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x+C,\quad \int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x+C
  • (3)
    ∫x2sin⁡x dx=−x2cos⁡x+2xsin⁡x+2cos⁡x+C,∫x2cos⁡x dx=x2sin⁡x+2xcos⁡x−2sin⁡x+C\displaystyle \int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C,\quad \int x^2\cos x\,dx=x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+C
  • (4)
    2π22−2π\displaystyle \frac{\sqrt2\pi^2}{2}-2\pi

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 0≦x≦π/40\le x\le\pi/4 では cos⁡x≧sin⁡x\cos x\ge\sin x。よって [D]=∫0π/4(cos⁡x−sin⁡x) dx=[sin⁡x+cos⁡x]0π/4=2−1.\displaystyle [D]=\int_0^{\pi/4}(\cos x-\sin x)\,dx =[\sin x+\cos x]_0^{\pi/4}=\sqrt2-1.

(2) 部分積分で ∫xsin⁡x dx=−xcos⁡x+sin⁡x+C,∫xcos⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x+C.\displaystyle \int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x+C,\qquad \int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x+C.

(3) さらに部分積分すると ∫x2sin⁡x dx=−x2cos⁡x+2∫xcos⁡x dx=−x2cos⁡x+2xsin⁡x+2cos⁡x+C,∫x2cos⁡x dx=x2sin⁡x−2∫xsin⁡x dx=x2sin⁡x+2xcos⁡x−2sin⁡x+C.\displaystyle \begin{aligned} \int x^2\sin x\,dx &=-x^2\cos x+2\int x\cos x\,dx\\ &=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C,\\ \int x^2\cos x\,dx &=x^2\sin x-2\int x\sin x\,dx\\ &=x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+C. \end{aligned}

(4) 高さyの断面を考える。0≦y≦1/20\le y\le1/\sqrt2 では断面のx範囲は 0≦x≦arcsin⁡y0\le x\le\arcsin y。1/2≦y≦11/\sqrt2\le y\le1 では 0≦x≦arccos⁡y0\le x\le\arccos y。回転断面は円板だから、y置換を戻して V=π∫0π/4x2cos⁡x dx+π∫0π/4x2sin⁡x dx.\displaystyle V=\pi\int_0^{\pi/4}x^2\cos x\,dx+ \pi\int_0^{\pi/4}x^2\sin x\,dx. (3)の原始関数を使えば V=π[x2(sin⁡x−cos⁡x)+2x(sin⁡x+cos⁡x)+2(cos⁡x−sin⁡x)]0π/4=2π22−2π.\displaystyle V=\pi\left[x^2(\sin x-\cos x)+2x(\sin x+\cos x)+2(\cos x-\sin x)\right]_0^{\pi/4} =\frac{\sqrt2\pi^2}{2}-2\pi.

この問題で使う考え方

  • 部分積分
  • 回転体の水平断面法
  • 変数置換

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