4名古屋大学 2012年 数学 第4問解答・解説

(1) 二項定理で $x^2$ の項を選ぶと、その係数は $$\displaystyle \binom{101}{2}(-1)^{99}=-5050.$$

(2) $p-1$ を $p$ で割った余りは $-1$ と同じであり、$m$ は奇数だから $$(p-1)^m+1\equiv(-1)^m+1=0\pmod p.$$ 従って $p$ で割り切れる。

(3) 二項展開の定数項は $-1$、$p$ の一次項は $mp$、残る項は全て $p^2$ の倍数である。よってある整数 $K$ により $$(p-1)^m+1=mp+p^2K=p(m+pK)$$ と書ける。もしこれが $p^2$ で割り切れれば、$m+pK$ が $p$ で割り切れ、従って $m$ も $p$ で割り切れる。しかしこれは仮定に反する。ゆえに $p^2$ では割り切れない。この議論では $p$ が素数である必要はない。

(4) $a_j=2^{m3^j}$ ($j=0,1,\ldots$) とおく。指数は奇数だから、全ての $j$ について $a_j\equiv-1\pmod3$。従って $3\mid a_0+1$ であり、また $$a_{j+1}+1=a_j^3+1=(a_j+1)(a_j^2-a_j+1),$$ $$a_j^2-a_j+1\equiv1+1+1=0\pmod3.$$ よって $3^{j+1}\mid a_j+1$ ならば $3^{j+2}\mid a_{j+1}+1$。数学的帰納法から全ての $j\geq0$ で $3^{j+1}\mid a_j+1$ が成り立つ。$j=r-1$ とすれば $$3^r\mid a_{r-1}+1=2^{m3^{r-1}}+1=2^s+1.$$ これで正の整数 $r$ 全てについて示された。