4新潟大学 2012年 数学 第4問解答・解説

各試行は独立で、各回に1から9までのいずれかが同確率で出る。したがって順序を区別した全結果は $9^3=729$ 通りである。 (1) $5<m$ は3回とも $6,7,8,9$ のいずれかが出る場合なので、確率は $4^3/9^3=64/729$。同様に $M<5$ は3回とも $1,2,3,4$ のいずれかが出る場合だから、確率は $64/729$。 (2) $m\le5\le M$ の余事象は、3回とも5より大きい場合、または3回とも5より小さい場合であり、両者は排反である。よって求める確率は $1-2(4^3/9^3)=1-128/729=601/729$。 (3) $m\le k\le M$ の余事象は、3回とも $k$ より大きい場合、または3回とも $k$ より小さい場合であり、両者は排反である。したがって $p(k)=1-\{(9-k)^3+(k-1)^3\}/729$。ここで $x=k-1$ とおくと $0\le x\le8$ は整数であり、$$(9-k)^3+(k-1)^3=(8-x)^3+x^3=24(x-4)^2+128.$$この値は $x=4$（すなわち $k=5$）で最小の128、$x=0,8$（すなわち $k=1,9$）で最大の512となる。よって $p(k)$ の最大値は $1-128/729=601/729$、最小値は $1-512/729=217/729$ である。