北海道大学 2020年数学第5問解答・解説

指数関数・対数関数極限微分法積分法

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1問題

北海道大学2020年度第5問

a を正の定数とする。微分可能な関数 $f(x)$ はすべての実数 x に対して次の条件を満たしているとする。

$\displaystyle 0 < f (x) < 1, \quad \int_ {0} ^ {x} \frac {f ^ {\prime} (t)}{\{1 - f (t) \} f (t)} d t = a x$

さらに, $\displaystyle f(0)=\frac{1}{3}$ であるとする。

(1) $f(x)$ を求めよ。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と x 軸および 2 直線 x = 0, x = 1 で囲まれる図形の面積 $S(a)$ を求めよ。さらに， $\displaystyle \lim\limits _{a\to+\infty}S(a)$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\displaystyle f(x)=\frac{e^{ax}}{e^{ax}+2}$ .
(2)
S(a)=(1/a) ln((e^a+2)/3), and lim_(a→0+) S(a)=1/3.

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $0<f(x)<1$ より $\displaystyle G(u)=\ln\frac{u}{1-u}$ を定められる。合成関数の微分から $\displaystyle \frac{d}{dx}G(f(x))=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)(1-f(x))}$ 。積分条件と積分の基本定理より $G(f(x))-G(f(0))=ax$ 。 $\displaystyle G(f(0))=\ln\frac{1/3}{2/3}=-\ln2$ だから $\displaystyle \ln\frac{f(x)}{1-f(x)}=ax-\ln2$ 。指数化して $\displaystyle f(x)=\frac{e^{ax}}{e^{ax}+2}$ 。

この問題で使う考え方

対数比を置いて被積分関数を合成関数の導関数として認識する
積分の基本定理で恒等式を得る
対数の導関数を使って面積積分を計算する
導関数の定義から右側極限を求める

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