1北海道大学 2020年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \text{以下、}\mathbf{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \mathbf{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{ とし、Aを原点とする。} \text{(1) }\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\mathbf{c}-\mathbf{b}\text{ なので、} |\mathbf{c}-\mathbf{b}|^2=|\mathbf{b}|^2+|\mathbf{c}|^2-2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}\text{ より} 6=1+4-2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c},\qquad \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=-\frac12. \text{(2) }\mathbf{o}=\overrightarrow{\mathrm{AO}}\text{ とおく。外心の定義から }|\mathbf{o}|=|\mathbf{o}-\mathbf{b}|=|\mathbf{o}-\mathbf{c}|\text{ であるから、} 2\mathbf{o}\cdot\mathbf{b}=1,\qquad 2\mathbf{o}\cdot\mathbf{c}=4. \mathbf{o}=u\mathbf{b}+v\mathbf{c}\text{ とおくと、} u-\frac{v}{2}=\frac12,\qquad -\frac{u}{2}+4v=2, \text{従って }u=\frac45,\ v=\frac35\text{ であり、}\mathbf{o}=\frac45\mathbf{b}+\frac35\mathbf{c}. \text{また、} \quad |\mathbf{o}|^2=\left|\frac45\mathbf{b}+\frac35\mathbf{c}\right|^2=\frac85>0. \text{AO上の点を }k\mathbf{o}\text{ とする。この点が中心O、半径 }|\mathbf{o}|\text{ の外接円上にある条件は} |k\mathbf{o}-\mathbf{o}|^2=|\mathbf{o}|^2,\quad (k-1)^2=1\text{ である。}\ k=0\text{ はAなので、もう一つの交点Pは }\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2\mathbf{o}\text{ である。} \therefore\quad \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac85\mathbf{b}+\frac65\mathbf{c},\qquad (s,t)=\left(\frac85,\frac65\right). \text{(3) }D\text{ は直線AP上にあるので }\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\lambda\overrightarrow{\mathrm{AP}}\text{ とおく。} D\text{ は直線BC上にもあるため、}\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{ を }\mathbf{b},\mathbf{c}\text{ で表した係数の和は1である。} \lambda\left(\frac85+\frac65\right)=1\text{ より }\lambda=\frac5{14},\quad \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac47\mathbf{b}+\frac37\mathbf{c}. \text{よって} AD^2=\left|\frac47\mathbf{b}+\frac37\mathbf{c}\right|^2=\frac{16}{49}+\frac{36}{49}+\frac{24}{49}\left(-\frac12\right)=\frac{40}{49}, AD=\frac{2\sqrt{10}}7.$$