群馬大学 2007年数学第4問解答・解説

場合の数と確率数学と人間の活動（整数）数列

このページには広告が含まれます。

1問題

群馬大学2007年度第4問

n は自然数とし, $(x,y,z)$ は空間の点とする.

(1) x, y, z を 2n 以下の自然数とするとき, $x \leq 2y \leq z$ を満たす点 $(x, y, z)$ の個数を求めよ.

(2) x, y, z を 6n 以下の自然数とするとき, 積 xyz が 6 の倍数である点 $(x, y, z)$ の個数を求めよ.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \begin{aligned} (1)\quad&\frac{n(n+1)(2n+1)}{3},\\ (2)\quad&133n^3. \end{aligned}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $2y\le z\le2n$ から $1\le y\le n$ 。 $y$ を固定すると $x$ は $1,\ldots,2y$ の $2y$ 通り、 $z$ は $2y,\ldots,2n$ の $2n-2y+1$ 通りである。よって $\displaystyle \sum\limits _{y=1}^{n}2y(2n-2y+1) =(2n+1)n(n+1)-\frac23n(n+1)(2n+1) =\frac{n(n+1)(2n+1)}3.$

(2) $1$ から $6n$ までの整数から作る三つ組は全部で $(6n)^3$ 個。積が偶数でない三つ組は各成分が奇数なので $(3n)^3$ 個。積が $3$ の倍数でない三つ組は各成分が $3$ の倍数でないので $(4n)^3$ 個。両方に属する三つ組では各成分が奇数かつ $3$ の倍数でない。 $1$ から $6n$ までにはそのような整数が $2n$ 個あるから、三つ組は $(2n)^3$ 個である。積が $6$ の倍数でない三つ組を包除原理で数えると、求める個数は $(6n)^3-(3n)^3-(4n)^3+(2n)^3 =(216-27-64+8)n^3=133n^3.$

この問題で使う考え方

条件ごとに固定した積の法則
有限和公式
包除原理

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。