2宮崎大学 2009年 数学 第2問解答・解説

表を $H$、裏を $T$ とする。各時点の座標は、その時点までに続いた表の回数に等しい。したがって $X$ は、5回の結果における表の最長連続回数である。5回の結果は全部で $2^5=32$ 通りあり、いずれも同様に確からしい。

(1) $A_i$ を、$i,i+1,i+2$ 回目がすべて表となる事象とする（$i=1,2,3$）。各 $A_i$ に属する列は4通りである。また、$|A_1\cap A_2|=2$、$|A_1\cap A_3|=1$、$|A_2\cap A_3|=2$、$|A_1\cap A_2\cap A_3|=1$ だから、少なくとも3回連続して表が出る列は $4+4+4-2-1-2+1=8$ 通りである。そのうち4回以上連続して表が出る列は、最初の4回が表となる列と最後の4回が表となる列の和集合であり、その個数は $2+2-1=3$ 通りである。よって $X=3$ となる列は $8-3=5$ 通りなので、求める確率は $\displaystyle \frac{5}{32}$ である。

(2) $X$ は0以上5以下の整数なので、$\displaystyle E[X]=\sum\limits _{k=1}^{5}P(X\geq k)$ である。$X\geq1$ となる列は全列から全て裏の1列を除いた31通りである。連続する表が2回以上ない列は、表が0回、1回、2回、3回の場合にそれぞれ $\displaystyle 1,5,\binom{4}{2},1$ 通り、合計13通りであるから、$X\geq2$ となる列は $32-13=19$ 通りである。また、$X\geq3$、$X\geq4$、$X\geq5$ となる列はそれぞれ8通り、3通り、1通りである。したがって $\displaystyle E[X]=\frac{31+19+8+3+1}{32}=\frac{62}{32}=\frac{31}{16}$ である。